Factorial

El factorial de un número entero positivo n, escrito como n!, es el producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta n:

n! = n × (n−1) × (n−2) × … × 2 × 1

Es una operación fundamental en combinatoria, probabilidad y análisis matemático.

¿Cómo se calcula el factorial?

Calcularlo es sencillo: multiplicas todos los enteros desde 1 hasta el número dado.

Los factoriales crecen muy rápido: 20! ya supera los dos quintillones (2,4 × 10¹⁸).

¿Para qué sirve el factorial?

Permutaciones

El número de formas de ordenar n objetos distintos es exactamente n!.

Ejemplo: ¿de cuántas formas diferentes pueden sentarse 4 personas en 4 sillas? → 4! = 24 formas.

Combinaciones

El número de formas de elegir k elementos de un conjunto de n sin importar el orden es:

C(n, k) = n! / (k! × (n−k)!)

Ejemplo: ¿cuántas formas hay de elegir 3 jugadores de un equipo de 10?

C(10, 3) = 10! / (3! × 7!) = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) = 720 / 6 = 120 formas

Puedes ver más detalles en el artículo de combinaciones y permutaciones.

Probabilidad

En probabilidad, el factorial aparece al contar los casos totales y favorables cuando el orden importa. Por ejemplo, la probabilidad de que 4 personas se sienten en un orden concreto de 4 sillas es 1 / 4! = 1/24 ≈ 4,2 %.

Propiedad recursiva

El factorial tiene una definición recursiva muy elegante:

n! = n × (n−1)!

Esto permite calcularlo paso a paso: 5! = 5 × 4! = 5 × 24 = 120. Es también la base de los algoritmos recursivos en programación.

Advertencia: cuidado con el crecimiento

El factorial crece más rápido que cualquier función exponencial. 15! ≈ 1,3 × 10¹², 20! ≈ 2,4 × 10¹⁸. En problemas de probabilidad con muchos elementos, es habitual operar con logaritmos del factorial para evitar números desbordantes (aproximación de Stirling: ln(n!) ≈ n·ln(n) − n).