Combinaciones

Las combinaciones son agrupaciones de elementos tomados de un conjunto mayor en las que el orden no importa. Si tienes 5 candidatos y debes elegir un comité de 3, no interesa quién fue elegido primero: cualquier grupo de las mismas 3 personas es la misma combinación.

¿Cuál es la fórmula de las combinaciones?

C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!)

Donde:

• n = total de elementos disponibles
• r = elementos que se eligen
• ! = factorial (producto de todos los enteros desde 1 hasta ese número)

Esta expresión también se lee como «n sobre r» y se escribe con la notación de coeficiente binomial: ₙCᵣ o (n r).

Ejemplo paso a paso

Una empresa tiene 8 candidatos y necesita formar un equipo de 3 personas. ¿Cuántos equipos distintos puede formar?

C(8, 3) = 8! / (3! × 5!)

Para calcular sin multiplicar factoriales enormes, cancela los términos repetidos:

C(8, 3) = (8 × 7 × 6) / (3 × 2 × 1) = 336 / 6 = 56 equipos

El orden en el que se elige a cada persona no cambia el equipo, por eso son combinaciones y no permutaciones.

¿Cuándo usar combinaciones y cuándo permutaciones?

La clave es la pregunta: ¿cambiaría el resultado si los mismos elementos apareciesen en distinto orden? Si la respuesta es no, son combinaciones.

Combinaciones con repetición

Existe también la variante en la que un mismo elemento puede elegirse más de una vez (combinaciones con repetición):

CR(n, r) = C(n + r − 1, r) = (n + r − 1)! / (r! × (n − 1)!)

Ejemplo: ¿De cuántas formas puedes pedir 2 bolas de helado de una heladería con 5 sabores, pudiendo repetir?

CR(5, 2) = C(5 + 2 − 1, 2) = C(6, 2) = 15 formas

Relación con el coeficiente binomial

C(n, r) es también el coeficiente que acompaña a cada término en la expansión de (a + b)ⁿ. Por ejemplo, (a + b)³ = 1·a³ + 3·a²b + 3·ab² + 1·b³. Los coeficientes 1, 3, 3, 1 son C(3,0), C(3,1), C(3,2) y C(3,3). Esto aparece en probabilidad, estadística y en la media aritmética ponderada de distribuciones binomiales.

Errores frecuentes

• Confundir con permutaciones: si el enunciado habla de «orden», «posición», «primera/segunda opción» o cargos con jerarquía, necesitas permutaciones.
• Olvidar el factorial del complementario: la fórmula incluye (n − r)! en el denominador; omitirlo da resultados muy superiores a los reales.
• Aplicar combinaciones cuando hay repetición: si los elementos pueden repetirse, la fórmula estándar subestima el número de agrupaciones posibles.