Permutaciones

Las permutaciones son ordenaciones de elementos en las que el orden importa: si cambiamos la posición de cualquier elemento, obtenemos un resultado distinto. Elegir al ganador, subcampeón y tercer puesto de una carrera con 10 participantes produce un resultado diferente según quién quede en cada posición, aunque los mismos tres atletas estén involucrados.

Permutaciones sin repetición

Cuando cada elemento puede usarse una sola vez, la fórmula es:

P(n, r) = n! / (n − r)!

Donde n es el total de elementos y r los que se ordenan.

Ejemplo: podio de una carrera

10 corredores compiten por los tres primeros puestos. ¿Cuántos podios distintos son posibles?

P(10, 3) = 10! / (10 − 3)! = 10! / 7! = 10 × 9 × 8 = 720 podios

Si en cambio los mismos 10 corredores solo tuviesen que formar grupos de 3 (sin importar el orden), serían combinaciones: C(10, 3) = 120 grupos. La diferencia entre 720 y 120 muestra cuánto multiplica el orden las posibilidades.

Permutación de todos los elementos

Cuando se ordenan todos los elementos disponibles (r = n), la fórmula se simplifica:

P(n) = n!

Con 5 libros en una estantería, el número de órdenes posibles es 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Permutaciones con repetición

Cuando un mismo elemento puede repetirse en la ordenación, la fórmula cambia:

VR(n, r) = nʳ

Ejemplo: un código de acceso de 4 dígitos (0–9) con repetición permitida:

10⁴ = 10.000 códigos posibles

Sin repetición (sin poder repetir dígito): P(10, 4) = 10 × 9 × 8 × 7 = 5.040 códigos.

Permutaciones con elementos repetidos

Si en el conjunto de partida hay elementos idénticos, hay que dividir entre el factorial de cada grupo de repetidos para no contar el mismo resultado varias veces.

Fórmula para n elementos donde los hay de tipo a, b, c… (con nₐ, n_b, n_c… repeticiones):

P = n! / (nₐ! × n_b! × n_c! × …)

Ejemplo: ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar las letras de la palabra BANANA?

6 letras en total; A aparece 3 veces, N aparece 2 veces, B aparece 1 vez.
P = 6! / (3! × 2! × 1!) = 720 / (6 × 2 × 1) = 720 / 12 = 60 ordenaciones

Cuándo usar cada fórmula

Tipo	¿El orden importa?	¿Repetición posible?	Fórmula
Permutación parcial	Sí	No	P(n, r) = n! / (n − r)!
Permutación total	Sí	No	P(n) = n!
Permutación con repetición	Sí	Sí	nʳ
Permutación con repetidos	Sí	No (hay idénticos en origen)	n! / (nₐ! × …)
Combinación	No	No	n! / (r! × (n − r)!)

Errores frecuentes

Confundir con combinaciones: si el enunciado dice «en cuántos grupos» o «cuántos comités», probablemente son combinaciones. Si dice «en cuántos órdenes», «cuántas secuencias» o asigna roles distintos, son permutaciones.
Olvidar dividir por los repetidos: en palabras o conjuntos con letras o elementos iguales, no hacerlo produce un resultado mucho mayor al real.
Aplicar n! cuando no se usan todos los elementos: si solo se toman r de n elementos, la fórmula es P(n, r) = n! / (n − r)!, no n!.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la fórmula de las permutaciones sin repetición?

P(n, r) = n! / (n − r)!, donde n es el total de elementos y r los que se ordenan. Si se ordenan todos los elementos (r = n), la fórmula se reduce a P(n) = n!. Por ejemplo, las permutaciones de 4 elementos tomados de 6 son P(6, 4) = 6! / 2! = 360.

¿En qué se diferencian las permutaciones de las combinaciones?

En las permutaciones el orden importa: AB y BA son resultados distintos. En las combinaciones el orden no importa: {A, B} y {B, A} son el mismo grupo. Si el enunciado habla de posición, ranking o secuencia, son permutaciones; si solo importa el grupo elegido, son combinaciones.

¿Qué son las permutaciones con repetición?

Se usan cuando un elemento puede aparecer más de una vez en cada ordenación. La fórmula es nʳ, donde n es el número de elementos distintos disponibles y r las posiciones a rellenar. Por ejemplo, un código PIN de 4 dígitos (0-9) tiene 10⁴ = 10.000 combinaciones posibles.