MCD

El MCD (máximo común divisor) de dos o más números es el mayor entero positivo que los divide a todos exactamente, sin dejar resto. Se usa principalmente para simplificar fracciones y para resolver problemas donde hay que repartir de forma equitativa.

¿Cómo se calcula el MCD por descomposición en factores primos?

1. Descompón cada número en factores primos.
2. Identifica los factores comunes a todos los números.
3. Toma cada factor común con el menor exponente.
4. Multiplica los factores resultantes.

Ejemplo: MCD(24, 36)

• 24 = 2³ × 3
• 36 = 2² × 3²
• Factores comunes: 2 (menor exponente: 2²) y 3 (menor exponente: 3¹)
• MCD = 2² × 3 = 4 × 3 = 12

Comprobación: 24 / 12 = 2 ✓ · 36 / 12 = 3 ✓

¿Cómo se calcula el MCD con el algoritmo de Euclides?

El algoritmo de Euclides es más rápido para números grandes. Solo necesitas divisiones sucesivas:

MCD(48, 18)

1. 48 ÷ 18 = 2, resto 12
2. 18 ÷ 12 = 1, resto 6
3. 12 ÷ 6 = 2, resto 0 → el MCD es el último divisor: 6

La regla es siempre la misma: el MCD del paso anterior se convierte en el dividendo, el resto en el nuevo divisor, hasta que el resto sea cero.

Relación entre MCD y MCM

MCD y MCM están vinculados:

MCD(a, b) × MCM(a, b) = a × b

Con 12 y 18: MCD = 6, MCM = 36 → 6 × 36 = 216 = 12 × 18 ✓. Esta relación permite calcular el MCM rápidamente una vez que tienes el MCD.

MCD para simplificar fracciones

Divide numerador y denominador por su MCD para obtener la fracción en su mínima expresión:

Simplificar 42/56:

• MCD(42, 56) = 14
• 42 / 14 = 3 y 56 / 14 = 4
• Resultado: 3/4

Una fracción está completamente simplificada cuando MCD(numerador, denominador) = 1 (se llaman entonces primos entre sí o coprimos).

Aplicación práctica: repartos equitativos

El MCD responde a preguntas como: «Tengo 36 manzanas y 48 naranjas; quiero hacer bolsas con el mismo número de cada fruta en todas. ¿Cuántas bolsas puedo hacer como máximo?»

MCD(36, 48) = 12 → puedes hacer 12 bolsas con 3 manzanas y 4 naranjas cada una.

Tabla de MCD de pares habituales