Desviación estándar

La desviación estándar (o desviación típica) es la medida de dispersión más utilizada en estadística: expresa cuánto se desvían los datos, como promedio, respecto a su media aritmética. Un valor alto indica datos muy dispersos; un valor bajo, datos agrupados alrededor de la media.

Fórmula de la desviación estándar

Primero se calcula la varianza (promedio de los cuadrados de las desviaciones) y luego la desviación estándar es su raíz cuadrada:

Varianza poblacional: σ² = Σ(xᵢ − x̄)² / n

Desviación estándar poblacional: σ = √[Σ(xᵢ − x̄)² / n]

Desviación estándar muestral: s = √[Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)]

Donde x̄ es la media aritmética y n el número de datos.

Ejemplo paso a paso

Las notas de 5 estudiantes en un examen son: 6, 7, 8, 9, 10.

Paso 1 — Media: x̄ = (6 + 7 + 8 + 9 + 10) / 5 = 40 / 5 = 8

Paso 2 — Diferencias al cuadrado:

Nota (xᵢ)	xᵢ − x̄	(xᵢ − x̄)²
6	−2	4
7	−1	1
8	0	0
9	+1	1
10	+2	4
Suma		10

Paso 3 — Varianza muestral (dividimos entre n − 1 = 4 porque son una muestra): s² = 10 / 4 = 2,5

Paso 4 — Desviación estándar muestral: s = √2,5 ≈ 1,58

Interpretación: las notas se desvían de la media (8) en aproximadamente 1,58 puntos.

Poblacional vs. muestral: ¿cuándo usar cada una?

Tipo	Fórmula	Cuándo usarla
Poblacional (σ)	Divide entre n	Tienes todos los datos de la población
Muestral (s)	Divide entre n − 1	Tienes solo una muestra y quieres estimar la población

En la práctica, cuando analizas datos reales (encuestas, experimentos), casi siempre trabajas con una muestra → usa s con n − 1.

La regla 68-95-99,7 (distribución normal)

Si los datos siguen una distribución normal (campana de Gauss), la desviación estándar permite acotar dónde cae la mayoría de los valores:

±1σ → el 68 % de los datos
±2σ → el 95 % de los datos
±3σ → el 99,7 % de los datos

Ejemplo: si los tiempos de entrega de una empresa tienen media 5 días y σ = 1 día, el 95 % de los pedidos llega entre 3 y 7 días.

Coeficiente de variación: comparar dispersiones distintas

La desviación estándar tiene las mismas unidades que los datos (euros, kilos, días…), lo que dificulta comparar conjuntos con medias muy distintas. Para eso se usa el coeficiente de variación (CV):

CV = (σ / x̄) × 100 %

Ejemplo: dos fondos de inversión.

Fondo A: media de rentabilidad 8 %, σ = 2 % → CV = 25 %
Fondo B: media de rentabilidad 15 %, σ = 6 % → CV = 40 %

Fondo B tiene mayor rentabilidad pero también más riesgo relativo.

Relación con la mediana y la media

La desviación estándar siempre se calcula respecto a la media aritmética. Cuando los datos contienen valores extremos (outliers) que distorsionan la media, la mediana es más representativa del centro y el rango intercuartílico (IQR) mide mejor la dispersión central.

Preguntas frecuentes

¿Qué mide la desviación estándar?

Mide cuánto se alejan los datos, en promedio, respecto a la media aritmética. Una desviación estándar baja indica que los valores están muy agrupados alrededor de la media; una alta indica que están muy dispersos.

¿Cuál es la diferencia entre desviación estándar poblacional y muestral?

La poblacional (σ) divide entre n (todos los datos). La muestral (s) divide entre n − 1. Se usa la muestral cuando los datos son solo una muestra de una población mayor, porque la división entre n − 1 corrige el sesgo de infraestimación de la varianza.

¿Cómo interpreto el valor de la desviación estándar?

En una distribución normal, aproximadamente el 68 % de los datos cae dentro de ±1 desviación estándar respecto a la media, el 95 % dentro de ±2 y el 99,7 % dentro de ±3. Por ejemplo, si la media de un test es 70 y la desviación estándar es 10, el 68 % de los alumnos obtuvo entre 60 y 80 puntos.