Número primo

Un número primo es un número natural mayor que 1 que solo es divisible exactamente por 1 y por sí mismo. Los primeros primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29… El 2 es el único primo par; todos los demás son impares. Los primos son los «ladrillos» de los números naturales: cualquier entero mayor que 1 puede expresarse de forma única como producto de primos (teorema fundamental de la aritmética).

¿Cómo saber si un número es primo?

El método más básico es la división de prueba: intenta dividir el número entre todos los enteros desde 2 hasta su raíz cuadrada. Si ninguno divide exactamente, es primo.

Ejemplo: ¿Es 97 primo?

• Raíz cuadrada de 97 ≈ 9,85 → hay que probar divisores hasta 9.
• 97 / 2 = 48,5 → no entero. 97 / 3 → no. 97 / 5 → no. 97 / 7 = 13,86 → no.
• Ninguno divide exactamente → 97 es primo.

Para números grandes, existen algoritmos más eficientes como la criba de Eratóstenes (para listas de primos hasta un límite N) o tests probabilísticos como Miller-Rabin (usados en criptografía).

La criba de Eratóstenes

Para encontrar todos los primos hasta, por ejemplo, 50:

1. Escribe los números del 2 al 50.
2. Empieza en el 2 (primo). Tacha todos sus múltiplos: 4, 6, 8…
3. El siguiente sin tachar es el 3. Tacha sus múltiplos: 9, 15, 21…
4. Repite hasta que hayas procesado todos los números ≤ √50 ≈ 7.
5. Los que quedan sin tachar son los primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Distribución de los primos: el teorema del número primo

Los primos se vuelven más escasos a medida que los números crecen, pero nunca desaparecen. El teorema del número primo dice que la cantidad de primos menores que N es aproximadamente N / ln(N). Cerca del 1.000.000, hay un primo cada ≈ 14 números; cerca del 1.000.000.000.000, uno cada ≈ 28.

La probabilidad de que un número grande elegido al azar sea primo decrece, pero los primos usados en criptografía (de cientos de dígitos) se encuentran de manera eficiente con algoritmos modernos.

Primos en la vida real

• Criptografía RSA: el protocolo HTTPS que protege el tráfico de internet se basa en la multiplicación de dos primos enormes (de 1.024 o 2.048 bits). Cualquier sistema de banca online o comercio electrónico lo usa.
• Diseño de engranajes: los ingenieros eligen números de dientes primos para que los desgastes no coincidan en los mismos puntos y prolongar la vida útil.
• Ciclos naturales: la cigarra del género Magicicada emerge cada 13 o 17 años (ambos primos), lo que reduce las probabilidades de coincidir con depredadores de ciclo regular.

El concepto de divisibilidad conecta con la desviación estándar y otras herramientas matemáticas que aparecen en estadística y análisis de datos.