Ecuación de segundo grado

Una ecuación de segundo grado (o ecuación cuadrática) es una igualdad de la forma ax² + bx + c = 0, donde a, b, c son números reales y a ≠ 0. Aparece en física (trayectorias parabólicas), economía (cálculo de puntos de equilibrio) y geometría (áreas), y tiene siempre como máximo dos soluciones reales.

La fórmula cuadrática

La herramienta universal para resolver cualquier ecuación de segundo grado es la fórmula de Bhaskara (también llamada fórmula cuadrática):

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)

El signo ± indica que hay dos posibles soluciones: una con + y otra con −.

El discriminante: cuántas soluciones hay

La expresión Δ = b² − 4ac dentro de la raíz cuadrada determina el número de soluciones reales:

Calcular el discriminante antes de operar permite saber de inmediato qué esperar.

Resolución paso a paso: ejemplo completo

Ecuación: 2x² − 7x + 3 = 0

Identificamos: a = 2, b = −7, c = 3

1. Discriminante: Δ = (−7)² − 4 × 2 × 3 = 49 − 24 = 25 (positivo → dos soluciones)
2. Raíz cuadrada del discriminante: √25 = 5
3. Primera solución: x₁ = (7 + 5) / 4 = 12 / 4 = 3
4. Segunda solución: x₂ = (7 − 5) / 4 = 2 / 4 = 0,5

Comprobación: 2(3)² − 7(3) + 3 = 18 − 21 + 3 = 0 ✓

Método de factorización (cuando es posible)

Si los coeficientes son enteros y el discriminante es un cuadrado perfecto, a veces es más rápido factorizar:

x² − 5x + 6 = 0
Buscamos dos números que sumen −5 y multipliquen 6: son −2 y −3.
→ (x − 2)(x − 3) = 0 → x = 2 o x = 3

La factorización no siempre es posible con números enteros; la fórmula cuadrática funciona siempre.

Aplicación real: distancia de frenado

Un coche circula a 90 km/h. La distancia de frenado en metros sigue la ecuación:

d = v₀t − ½at²

Si quieres saber en qué instante t el coche recorre exactamente 50 m con una desaceleración de 5 m/s² (velocidad inicial 25 m/s):

50 = 25t − ½ × 5 × t² → 2,5t² − 25t + 50 = 0 → t² − 10t + 20 = 0

Δ = 100 − 80 = 20 → √20 ≈ 4,47

t₁ ≈ (10 + 4,47) / 2 ≈ 7,24 s | t₂ ≈ (10 − 4,47) / 2 ≈ 2,76 s

La solución físicamente válida es t ≈ 2,76 s (la primera en ocurrir).

Relación con la notación científica

En problemas de física y química, los coeficientes a, b y c pueden ser muy grandes o muy pequeños. En esos casos conviene expresarlos en notación científica antes de aplicar la fórmula para evitar errores de cálculo con ceros.

Errores frecuentes

• Olvidar el doble signo ±: produce solo una de las dos soluciones.
• Dividir solo el numerador: la división entre 2a afecta a todo el numerador, incluido el −b.
• Asumir que Δ negativo es un error: simplemente no hay soluciones reales; las soluciones son complejas, lo cual es matemáticamente válido.
• No comprobar las soluciones: siempre conviene sustituir x₁ y x₂ en la ecuación original para verificar.