Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos:

a² + b² = c²

Donde a y b son los catetos (los dos lados que forman el ángulo recto) y c es la hipotenusa (el lado más largo, opuesto al ángulo de 90°).

¿Cómo se aplica paso a paso?

Caso 1: calcular la hipotenusa conociendo los dos catetos.

Ejemplo: catetos de 3 y 4 cm → ¿cuánto mide la hipotenusa?

1. c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
2. c = √25 = 5 cm

Caso 2: calcular un cateto conociendo la hipotenusa y el otro cateto.

Ejemplo: hipotenusa de 13 cm, un cateto de 5 cm → ¿cuánto mide el otro cateto?

1. b² = c² − a² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144
2. b = √144 = 12 cm

Ternas pitagóricas: números que siempre funcionan

Existen combinaciones de tres enteros que cumplen exactamente el teorema, llamadas ternas pitagóricas. Las más usadas:

Cualquier múltiplo también es una terna: 6-8-10, 9-12-15, etc. Reconocerlas de memoria permite resolver muchos ejercicios sin calculadora.

Aplicaciones prácticas

• Construcción: comprobar que una esquina es perfectamente recta (ángulo de 90°) usando la terna 3-4-5.
• Distancias en planos: la distancia entre dos puntos en un plano es la hipotenusa del triángulo rectángulo que forman sus diferencias de coordenadas: d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²].
• Cálculo de alturas: si sabes la longitud de una escalera apoyada en una pared (hipotenusa) y la distancia al pie de la pared (cateto), calculas la altura a la que llega.

Ejemplo de distancia entre dos puntos

Puntos A(1, 2) y B(4, 6):

d = √[(4−1)² + (6−2)²] = √[9 + 16] = √25 = 5 unidades

Verificar si un triángulo es rectángulo

Dados tres lados, comprueba si se cumple a² + b² = c² (usando el lado mayor como hipotenusa). Si la igualdad se cumple exactamente, el triángulo es rectángulo; si no, no lo es.

Ejemplo: lados 6, 8 y 10 → 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10² ✓ (es rectángulo). Ejemplo: lados 5, 7 y 9 → 5² + 7² = 25 + 49 = 74 ≠ 81 (no es rectángulo).

El teorema conecta directamente con el cálculo de área y perímetro de figuras geométricas y con la probabilidad en ejercicios de geometría analítica.